Logika Matematika dan Himpunan

Logika Matematika

1. Pengertian Logika

Logika adalah cabang filsafat dan matematika yang mempelajari prinsip-prinsip valid dari penalaran dan argumen. Dalam matematika, logika digunakan untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan.

2. Pernyataan (Proposisi)

• Pernyataan: Kalimat yang dapat bernilai benar (B) atau salah (S).
• Contoh: "2 adalah bilangan genap" → Benar.

3. Operasi Logika

• Negasi (¬P): Kebalikan dari suatu pernyataan.
• Konjungsi (P ∧ Q): Pernyataan bernilai benar jika keduanya benar.
• Disjungsi (P ∨ Q): Bernilai benar jika salah satu benar.
• Implikasi (P → Q): Jika P maka Q.
• Biimplikasi (P ↔ Q): Bernilai benar jika P dan Q memiliki nilai yang sama.

4. Tabel Kebenaran

Tabel kebenaran digunakan untuk menentukan nilai benar atau salah dari suatu proposisi majemuk.

5. Logika Predikat

• Predikat: Fungsi yang menyatakan sifat suatu objek.
• Contoh: P(x): "x adalah bilangan prima"
• Kuantor Universal (∀): Untuk semua x
• Kuantor Eksistensial (∃): Ada x yang memenuhi

Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek atau elemen yang terdefinisi dengan jelas.

Contoh: A = {1, 2, 3}

2. Notasi dan Jenis Himpunan

• Notasi: A = {x | x adalah bilangan genap kurang dari 10}
• Himpunan kosong: ∅
• Himpunan semesta: Semua elemen yang mungkin dalam konteks tertentu.

3. Operasi Himpunan

• Gabungan (∪): A ∪ B adalah himpunan semua elemen A atau B.
• Irisan (∩): A ∩ B adalah himpunan elemen yang ada di A dan B.
• Selisih (−): A − B adalah elemen yang ada di A tapi tidak di B.
• Komplemen (A′): Elemen yang bukan anggota A.

4. Diagram Venn

Digunakan untuk memvisualisasikan hubungan antar himpunan.

5. Kardinalitas

Banyaknya elemen dalam suatu himpunan.

Contoh: Jika A = {1, 2, 3}, maka n(A) = 3

6. Himpunan Kuasa

Himpunan semua subset dari suatu himpunan A. Jika n elemen, maka jumlah himpunan kuasanya adalah 2ⁿ.

7. Aplikasi Soal UTBK

Siswa harus mampu menyelesaikan soal terkait logika dan himpunan seperti:

• Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk
• Menggambar diagram Venn dan menghitung jumlah elemen hasil operasi himpunan
• Menerapkan logika predikat dalam konteks pernyataan matematis