Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

1. Pengantar Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu materi dasar dalam matematika yang sangat penting dalam menyelesaikan berbagai masalah nyata, seperti ekonomi, teknik, dan sains. Materi ini mencakup konsep penyelesaian dua atau lebih persamaan/pertidaksamaan yang memiliki satu atau lebih variabel.

2. Sistem Persamaan Linear

2.1. Definisi

Sistem persamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki variabel yang sama. Contoh:

2x + 3y = 6
x - y = 4

2.2. Metode Penyelesaian

• Substitusi: Mengganti salah satu variabel dengan hasil dari persamaan lain.
• Eliminasi: Mengeliminasi salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan.
• Metode Grafik: Menggambarkan persamaan dalam grafik dan mencari titik potong.
• Metode Matriks (Gauss dan Gauss-Jordan): Menggunakan representasi matriks untuk sistem persamaan.

2.3. Jenis Solusi

• Satu solusi (unik): Grafik saling berpotongan di satu titik.
• Tidak ada solusi: Grafik sejajar dan tidak pernah bertemu.
• Banyak solusi: Grafik berimpit (identik).

3. Sistem Pertidaksamaan Linear

3.1. Definisi

Sistem pertidaksamaan linear adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear dengan variabel yang sama. Contoh:

x + y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0

3.2. Penyelesaian

• Menggambar grafik setiap pertidaksamaan.
• Menentukan daerah solusi (interseksi dari semua pertidaksamaan).
• Penyelesaian biasanya berbentuk himpunan titik di daerah tertentu.

3.3. Aplikasi dalam Program Linear

Materi pertidaksamaan sangat penting dalam optimisasi, terutama dalam program linear yang digunakan untuk menentukan nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi objektif.

4. Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1 (Persamaan Linear Dua Variabel)

Selesaikan sistem berikut:

3x + 2y = 16
2x - y = 3

Penyelesaian: Gunakan metode eliminasi untuk menghilangkan salah satu variabel...

Soal 2 (Pertidaksamaan Linear Dua Variabel)

Gambarkan daerah solusi dari:

x + y ≤ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

Penyelesaian: Gambar garis x + y = 4, lalu arsirlah daerah di bawah garis dan di kuadran pertama.

5. Kesimpulan

Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear adalah dasar dari pemodelan matematika dan penting untuk pengambilan keputusan. Kemampuan menyelesaikan sistem ini akan membantu dalam banyak bidang, seperti ekonomi, teknik, dan penelitian ilmiah.