Limit dan Turunan

Limit dan Turunan

1. Pengertian Limit

Limit fungsi adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi saat variabel mendekati suatu nilai tertentu. Limit penting dalam kalkulus karena menjadi dasar dalam pembahasan turunan dan integral.

Contoh:

Jika f(x) = x², maka:

lim(x → 2) f(x) = 4

2. Aturan Limit

• Limit Penjumlahan: lim(x → a)[f(x) ± g(x)] = lim(x → a)f(x) ± lim(x → a)g(x)
• Limit Perkalian: lim(x → a)[f(x) · g(x)] = lim(x → a)f(x) · lim(x → a)g(x)
• Limit Pembagian: lim(x → a)[f(x)/g(x)] = lim(x → a)f(x) / lim(x → a)g(x), jika g(x) ≠ 0

Contoh Soal:

lim(x → 3) [(x² - 9)/(x - 3)]

Jawaban: Gunakan faktorisasi: (x² - 9) = (x - 3)(x + 3). Hasil: lim = 6

3. Pengertian Turunan

Turunan dari suatu fungsi adalah laju perubahan fungsi tersebut terhadap variabelnya. Dalam geometri, turunan menunjukkan kemiringan garis singgung terhadap kurva di suatu titik.

Definisi Formal:

f'(x) = lim(h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

4. Aturan Turunan

• Turunan Konstanta: d/dx[c] = 0
• Turunan xⁿ: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
• Aturan Penjumlahan: d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
• Aturan Perkalian: d/dx[f(x)·g(x)] = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
• Aturan Rantai: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)

Contoh Soal:

f(x) = 3x² + 5x - 2 → f'(x) = 6x + 5

5. Penerapan dalam Soal UTBK

Soal UTBK sering menguji konsep limit tak hingga, limit trigonometri, dan turunan fungsi polinomial maupun fungsi aljabar lainnya.

Contoh Soal UTBK:

Jika f(x) = (2x² + 3x + 1)/(x + 1), maka tentukan lim(x → -1) f(x)

Jawaban: Substitusi langsung → bentuk 0/0 → gunakan faktorisasi atau L'Hospital

6. Latihan Soal

1. Hitung: lim(x → 2) [(x² - 4)/(x - 2)]
2. Turunkan: f(x) = x³ - 5x² + 6x
3. Jika f(x) = √x, tentukan f'(x)

Selalu pastikan memahami konsep dasar sebelum mengerjakan soal-soal UTBK agar lebih efisien dan tepat.