1. Pengertian Transformasi Geometri
Transformasi Geometri adalah perubahan posisi, bentuk, atau ukuran suatu objek pada bidang koordinat. Transformasi meliputi translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perkalian skala). Siswa kelas XII diharapkan mampu memahami serta mengombinasikan transformasi ini dalam soal TKA.
2. Translasi (Pergeseran)
Translasi memindahkan suatu titik atau bangun ke arah tertentu sejauh vektor \( (a, b) \).
Jika titik \(P(x,y)\) ditranslasikan oleh vektor \(T(a,b)\), maka:
\[ P(x,y) \xrightarrow{T(a,b)} P'(x+a, y+b) \]
3. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi menghasilkan bayangan cermin suatu titik terhadap garis tertentu.
- Refleksi terhadap sumbu-\(x\): \( (x,y) \mapsto (x,-y) \)
- Refleksi terhadap sumbu-\(y\): \( (x,y) \mapsto (-x,y) \)
- Refleksi terhadap garis \(y=x\): \( (x,y) \mapsto (y,x) \)
- Refleksi terhadap garis \(y=-x\): \( (x,y) \mapsto (-y,-x) \)
4. Rotasi (Perputaran)
Rotasi memutar titik \(P(x,y)\) terhadap pusat \(O(0,0)\) dengan sudut \(\theta\) berlawanan arah jarum jam.
Rumus umum:
\[ P(x,y) \xrightarrow{R_{\theta}} P'(x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta) \]
Khusus:
- Rotasi 90°: \( (x,y) \mapsto (-y,x) \)
- Rotasi 180°: \( (x,y) \mapsto (-x,-y) \)
- Rotasi 270°: \( (x,y) \mapsto (y,-x) \)
5. Dilatasi (Perkalian Skala)
Dilatasi memperbesar atau memperkecil bangun dengan faktor skala \(k\) terhadap titik pusat \(O(0,0)\).
Jika titik \(P(x,y)\) didilatasi dengan faktor \(k\), maka:
\[ P(x,y) \xrightarrow{D_k} P'(kx, ky) \]
Jika pusat dilatasi \(C(x_0,y_0)\), maka:
\[ P(x,y) \mapsto (x',y') = (x_0 + k(x-x_0), y_0 + k(y-y_0)) \]
6. Komposisi Transformasi
Komposisi adalah gabungan lebih dari satu transformasi. Urutan transformasi sangat memengaruhi hasil. Misalnya translasi diikuti rotasi akan berbeda dengan rotasi diikuti translasi.
7. Contoh Soal TKA
Contoh 1: Tentukan hasil transformasi titik \(A(2,3)\) jika ditranslasikan oleh vektor \(T(4,-2)\).
\[ A(2,3) \mapsto A'(2+4,3-2) = (6,1) \]
Contoh 2: Tentukan bayangan titik \(B(5,-2)\) jika dicerminkan terhadap sumbu-\(y\).
\[ (5,-2) \mapsto (-5,-2) \]
Contoh 3: Titik \(C(3,4)\) diputar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap pusat \(O(0,0)\).
\[ (3,4) \mapsto (-4,3) \]
Contoh 4: Titik \(D(2,-1)\) didilatasi dengan faktor skala \(k=3\) terhadap pusat \(O(0,0)\).
\[ (2,-1) \mapsto (6,-3) \]
8. Latihan Soal TKA
Soal 1: Tentukan hasil komposisi translasi \(T(3,2)\) diikuti dengan refleksi terhadap sumbu-\(x\) pada titik \(P(-1,4)\).
Soal 2: Suatu titik \(Q(6,8)\) diputar 180° terhadap pusat \(O(0,0)\). Tentukan koordinat bayangannya.
Soal 3: Tentukan bayangan titik \(R(2,5)\) jika didilatasi dengan faktor \(k=-2\) terhadap pusat \(O(0,0)\).
Soal 4: Tentukan hasil komposisi rotasi 90° berlawanan arah jarum jam dan translasi \(T(-2,1)\) terhadap titik \(S(4,0)\).
Dengan memahami konsep transformasi geometri, siswa kelas XII dapat lebih mudah menyelesaikan soal TKA yang membutuhkan kemampuan spasial, pemahaman koordinat, serta keterampilan mengombinasikan berbagai transformasi secara logis.