1. Hubungan Objek Geometri pada Bangun Datar
Bangun datar adalah bangun dua dimensi. Hubungan objek-objek geometri di dalamnya meliputi titik, garis, dan sudut.
- Titik pada garis: Titik dikatakan terletak pada garis jika koordinatnya memenuhi persamaan garis tersebut.
- Garis pada bangun datar: Garis dapat menjadi sisi, diagonal, atau tinggi suatu bangun.
- Sudut pada bangun datar: Hubungan sudut dapat berupa sudut dalam, sudut luar, atau sudut berseberangan.
2. Hubungan Objek Geometri pada Bangun Ruang
Pada bangun ruang (tiga dimensi), hubungan objek melibatkan titik, garis, dan bidang.
- Titik pada bidang: Titik \((x,y,z)\) terletak pada bidang \(ax+by+cz+d=0\) jika substitusi koordinat memenuhi persamaan bidang.
- Garis pada bidang: Jika semua titik pada garis memenuhi persamaan bidang.
- Dua bidang: Dapat sejajar, berpotongan pada sebuah garis, atau berhimpit.
- Sudut antar objek:
- Sudut garis dengan bidang dihitung dari proyeksi garis pada bidang.
- Sudut antara dua bidang dihitung dari vektor normalnya.
3. Rumus Penting
- Jarak titik ke garis dalam ruang: \[ d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|} \] dengan \(P\) titik, \(g: A+ t\vec{u}\) garis.
- Jarak titik ke bidang: \[ d = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \]
- Sudut garis dengan bidang: \[ \sin \theta = \frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|} \]
4. Contoh Perhitungan
Contoh 1: Titik \(P(2,1,3)\) terhadap bidang \(x+2y+2z=7\).
\[ d = \tfrac{|2+2(1)+2(3)-7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \tfrac{3}{3} = 1 \]
Artinya jarak titik ke bidang adalah 1 satuan.
Contoh 2: Diagonal ruang kubus sisi \(a\):
\[ d = a\sqrt{3} \]
5. Ciri-Ciri Penting
- Bangun datar menekankan hubungan titik, garis, dan sudut.
- Bangun ruang menekankan hubungan titik, garis, dan bidang.
- Jarak dan sudut dalam ruang dapat dihitung dengan konsep vektor.
- Diagonal bidang dan diagonal ruang adalah elemen penting dalam bangun ruang.
6. Latihan Soal TKA
Soal 1: Tentukan panjang diagonal bidang pada persegi panjang dengan panjang sisi 6 cm dan 8 cm.
Soal 2: Hitung panjang diagonal ruang dari kubus dengan panjang sisi 5 cm.
Soal 3: Tentukan jarak titik \(P(1,2,3)\) ke bidang \(2x-y+2z-5=0\).
Soal 4: Diketahui garis \(g: (x,y,z)=(1,0,2)+t(1,2,1)\) dan bidang \(\pi: x+2y-z=4\). Hitung sudut antara garis dan bidang.
Dengan memahami hubungan objek geometri pada bangun datar dan bangun ruang, siswa kelas XII mampu mengaplikasikan konsep koordinat, vektor, jarak, dan sudut untuk menyelesaikan soal TKA yang kompleks dan menuntut penalaran spasial tingkat tinggi.