1. Hubungan Dua Sudut
Dalam geometri, sudut dapat saling berhubungan berdasarkan besarannya. Beberapa hubungan penting:
- Sudut Berpelurus: \( \alpha + \beta = 180^\circ \)
- Sudut Bertolak Belakang: Besarnya sama, yaitu \( \alpha = \beta \)
- Sudut Berpenyiku: \( \alpha + \beta = 90^\circ \)
2. Hubungan Dua Garis
Dua garis dapat memiliki beberapa hubungan dalam ruang:
- Sejajar: Tidak berpotongan, arah sama. Ditulis \( g_1 \parallel g_2 \).
- Bersekutuan (berpotongan): Memiliki satu titik potong. Sudut antara keduanya dapat dicari dengan:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
- Tegak Lurus: Jika hasil kali dot \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \).
- Bersilangan: Tidak sejajar dan tidak berpotongan.
3. Hubungan Dua Bidang
Dua bidang dapat berhubungan sebagai berikut:
- Sejajar: Jika vektor normalnya searah.
- Bersekutuan: Jika memiliki garis potong.
- Tegak Lurus: Jika vektor normalnya saling tegak lurus.
4. Contoh Perhitungan
Misalkan terdapat dua garis dengan vektor arah:
\( \vec{u} = (2, 1, -1), \quad \vec{v} = (1, -1, 2) \)
Maka sudut antara kedua garis:
\[ \cos \theta = \frac{2(1) + 1(-1) + (-1)(2)}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{-1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = -\tfrac{1}{6} \]
Sehingga sudut \(\theta = \cos^{-1}(-\tfrac{1}{6})\).
5. Ciri-Ciri Penting
- Dua sudut dapat berhubungan melalui jumlahnya atau kesamaan besarannya.
- Dua garis dapat sejajar, tegak lurus, berpotongan, atau bersilangan.
- Dua bidang dapat sejajar, tegak lurus, atau bersekutuan pada sebuah garis.
- Sudut antara garis dan bidang dapat dihitung dengan vektor normal.
6. Latihan Soal TKA
Soal 1: Tentukan besar sudut yang dibentuk garis \(y=2x\) dan \(y=-x\).
Soal 2: Dalam ruang, tentukan apakah garis \(g_1: (x,y,z)=(1,2,3)+t(1,2,1)\) dan \(g_2: (x,y,z)=(2,0,1)+s(2,4,2)\) sejajar, berpotongan, atau bersilangan.
Soal 3: Diketahui dua bidang \(\pi_1: 2x+y-z=5\) dan \(\pi_2: 4x+2y-2z=10\). Tentukan hubungan keduanya.
Soal 4: Hitung sudut antara bidang \(2x+3y-z=0\) dan \(x-y+4z=0\).
Dengan menguasai hubungan antara sudut, garis, dan bidang, siswa kelas XII dapat lebih mudah menyelesaikan soal spasial TKA yang menuntut kemampuan berpikir analitis, geometri ruang, serta pemahaman konsep vektor.