1. Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tetap \(r\). Jika suku pertama \(a\), maka bentuk umum suku ke-\(n\) adalah:
\[ U_n = a \cdot r^{(n-1)} \]
Contoh: Barisan \(3, 6, 12, 24, 48, \ldots\) dengan \(a=3\) dan \(r=2\).
2. Pengertian Deret Geometri
Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Jumlah \(n\) suku pertama dinyatakan dengan:
\[ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}, \quad (r \neq 1) \]
Jika \(|r| < 1\), maka deret geometri tak hingga memiliki jumlah:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1-r} \]
3. Ilustrasi Barisan Geometri
4. Contoh Perhitungan
Jika sebuah barisan geometri memiliki suku pertama \(a=2\) dan rasio \(r=3\):
- Suku ke-6: \(U_6 = 2 \cdot 3^{5} = 486\).
- Jumlah 6 suku pertama: \(S_6 = 2 \cdot \tfrac{3^6-1}{3-1} = 728\).
5. Ciri-Ciri Barisan dan Deret Geometri
- Rasio \(r\) selalu tetap.
- Nilai suku membesar atau mengecil secara eksponensial.
- Deret tak hingga konvergen hanya jika \(|r| < 1\).
- Sering muncul dalam soal pertumbuhan (bunga majemuk, populasi, investasi).
6. Latihan Soal TKA
Soal 1: Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri \(5, 15, 45, \ldots\).
Soal 2: Jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri dengan \(a=2\) dan \(r=2\).
Soal 3: Jika \(S_5 = 242\) dan \(a=2\), tentukan rasio \(r\).
Soal 4: Hitung jumlah deret tak hingga dari barisan geometri dengan \(a=12\) dan \(r=\tfrac{1}{3}\).
Dengan menguasai barisan dan deret geometri, siswa kelas XII dapat lebih memahami pertumbuhan eksponensial dan penerapannya dalam kehidupan nyata. Materi ini sangat penting untuk menghadapi soal TKA yang sering menguji kemampuan aljabar, logika, serta aplikasi dalam bidang finansial dan sains.