1. Pengertian Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih yang menghasilkan fungsi baru. Jika terdapat fungsi \(f: A \to B\) dan \(g: B \to C\), maka komposisi fungsi \(g \circ f\) didefinisikan sebagai:
\[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]
Artinya, kita masukkan nilai \(x\) ke fungsi \(f\) terlebih dahulu, lalu hasilnya dimasukkan ke fungsi \(g\).
2. Sifat Fungsi Komposisi
- Tidak komutatif: umumnya \(g \circ f \neq f \circ g\).
- Bersifat asosiatif: \((h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)\).
- Memiliki hubungan erat dengan fungsi identitas dan fungsi invers.
3. Ilustrasi Fungsi Komposisi
Contoh: \(f(x) = 2x+1\) dan \(g(x) = x^2\).
Maka:
- \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = (2x+1)^2\)
- \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2x^2+1\)
4. Langkah Menentukan Fungsi Komposisi
- Tentukan urutan komposisi: \((g \circ f)(x)\) berarti substitusikan hasil \(f(x)\) ke dalam \(g\).
- Tuliskan bentuk eksplisit \(f(x)\).
- Masukkan ke dalam fungsi \(g\) dan sederhanakan.
5. Contoh
Jika \(f(x) = 3x-1\) dan \(g(x) = x^2+2\), tentukan:
- \((g \circ f)(x) = g(3x-1) = (3x-1)^2 + 2\)
- \((f \circ g)(x) = f(x^2+2) = 3(x^2+2)-1 = 3x^2+5\)
6. Hubungan dengan Fungsi Identitas
Jika \(f\) memiliki invers \(f^{-1}\), maka:
- \(f \circ f^{-1} = I\)
- \(f^{-1} \circ f = I\)
di mana \(I(x) = x\) adalah fungsi identitas.
7. Latihan Soal TKA
Soal 1: Jika \(f(x) = 2x+3\) dan \(g(x) = x^2\), tentukan \((g \circ f)(2)\).
Soal 2: Jika \(f(x) = x^2+1\) dan \(g(x) = 3x-4\), tentukan \((f \circ g)(x)\).
Soal 3: Jika \(f(x) = \sqrt{x}\) dengan domain \(x \geq 0\), dan \(g(x) = x+5\), tentukan \((f \circ g)(x)\).
Soal 4: Misalkan \(h(x) = (g \circ f)(x)\) dengan \(f(x)=2x\) dan \(g(x)=x+1\). Tentukan \(h(3)\).
Dengan memahami fungsi komposisi, siswa kelas XII dapat menyelesaikan berbagai bentuk permasalahan yang menguji keterampilan manipulasi fungsi dan pemahaman alur input-output antar fungsi. Materi ini menjadi bekal penting untuk menghadapi soal-soal TKA yang sering melibatkan keterkaitan antar fungsi.