1. Pengertian Fungsi Invers
Fungsi invers adalah fungsi yang “membalikkan” fungsi asal. Jika suatu fungsi \(f: A \to B\) memiliki invers, maka terdapat fungsi \(f^{-1}: B \to A\) sehingga berlaku:
\(f(f^{-1}(x)) = x\) dan \(f^{-1}(f(x)) = x\).
Dengan kata lain, fungsi invers mengembalikan output dari fungsi asal menjadi input semula.
2. Syarat Fungsi Memiliki Invers
Sebuah fungsi \(f\) dikatakan memiliki invers jika:
- Fungsi tersebut bijektif (satu-satu dan onto).
- Artinya, setiap elemen domain dipasangkan dengan tepat satu elemen kodomain, dan semua elemen kodomain mendapat pasangan.
3. Ilustrasi Fungsi dan Invers
Contoh: Fungsi \(f(x) = 2x+3\). Inversnya adalah \(f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}\).
4. Cara Mencari Fungsi Invers
- Misalkan \(y = f(x)\).
- Tukar posisi \(x\) dan \(y\).
- Ubah persamaan tersebut menjadi bentuk \(y = ...\) sehingga diperoleh \(f^{-1}(x)\).
Contoh: \(f(x) = 3x - 4\)
- \(y = 3x - 4\)
- Tukar: \(x = 3y - 4\)
- \(y = \frac{x+4}{3}\)
- Maka, \(f^{-1}(x) = \frac{x+4}{3}\).
5. Grafik Fungsi dan Invers
Grafik fungsi dan inversnya simetris terhadap garis \(y=x\).
Contoh: Fungsi \(f(x)=2x+3\) dan inversnya \(f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}\).
6. Latihan Soal TKA
Soal 1: Tentukan invers dari \(f(x) = 4x+5\).
Soal 2: Jika \(f(x) = \frac{x-1}{x+2}\), tentukan \(f^{-1}(x)\).
Soal 3: Suatu fungsi \(f\) didefinisikan \(f(x) = x^2 + 2x\) dengan domain \(x \geq -1\). Tentukan inversnya.
Soal 4: Grafik fungsi \(f(x)\) dan \(f^{-1}(x)\) selalu simetris terhadap garis apa?
Dengan memahami fungsi invers, siswa kelas XII mampu menganalisis, menentukan, dan menggambar fungsi serta inversnya. Konsep ini sangat penting dalam soal TKA karena menguji kemampuan bernalar matematis tingkat tinggi dan keterampilan manipulasi aljabar.