Program Linear

Matematika SMA MA SMK MAK

1. Pengertian Program Linear

Program linear adalah metode matematika yang digunakan untuk mencari nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif dengan batasan berupa sistem pertidaksamaan linear. Program linear banyak digunakan dalam masalah optimasi, seperti produksi, transportasi, dan alokasi sumber daya.

Bentuk umum:

Fungsi Objektif: \( Z = ax + by \)

Kendala: \(\begin{cases} a_1x + b_1y \leq c_1 \\ a_2x + b_2y \geq c_2 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases}\)

2. Langkah-Langkah Penyelesaian

  1. Nyatakan fungsi objektif \(Z = ax + by\).
  2. Tentukan sistem pertidaksamaan linear sebagai kendala.
  3. Gambarkan daerah penyelesaian kendala pada bidang koordinat.
  4. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian.
  5. Hitung nilai fungsi objektif pada setiap titik pojok.
  6. Pilih nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum) sesuai tujuan soal.

3. Contoh Soal Program Linear

Soal: Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk, A dan B. Produk A memberikan keuntungan Rp40.000 per unit, sedangkan produk B memberikan keuntungan Rp30.000 per unit. Produksi A memerlukan 2 jam mesin dan 1 jam tenaga kerja. Produksi B memerlukan 1 jam mesin dan 2 jam tenaga kerja. Mesin tersedia 8 jam per hari, tenaga kerja tersedia 6 jam per hari. Tentukan kombinasi produksi A dan B agar keuntungan maksimum.

Penyelesaian:

Fungsi objektif: \(Z = 40x + 30y\)

Kendala:

  • \(2x + y \leq 8\) (mesin)
  • \(x + 2y \leq 6\) (tenaga kerja)
  • \(x \geq 0, y \geq 0\)

Ilustrasi grafik:

Daerah solusi

Titik pojok:

  • \((0,0)\)
  • \((0,3)\)
  • \((4,0)\)
  • \((2,2)\) (perpotongan 2x + y = 8 dan x + 2y = 6)

Nilai Z:

  • \(Z(0,0) = 0\)
  • \(Z(0,3) = 90\)
  • \(Z(4,0) = 160\)
  • \(Z(2,2) = 140\)

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp160.000 dengan memproduksi 4 unit A dan 0 unit B.

4. Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

Program linear digunakan dalam berbagai bidang, misalnya:

  • Manajemen produksi (menentukan kombinasi produk yang optimal).
  • Transportasi (menentukan rute dengan biaya minimum).
  • Keuangan (alokasi anggaran atau investasi optimal).

5. Latihan Soal TKA

Soal 1: Tentukan daerah penyelesaian dan nilai maksimum dari \(Z = 3x + 5y\) dengan kendala: \(x + y \leq 10\), \(x \geq 2\), \(y \geq 1\).

Soal 2: Sebuah pabrik menghasilkan produk P dan Q. Produk P memberikan keuntungan Rp50.000 per unit, Q Rp40.000. P memerlukan 1 jam mesin dan 2 jam tenaga kerja, Q memerlukan 2 jam mesin dan 1 jam tenaga kerja. Mesin tersedia 10 jam, tenaga kerja 12 jam. Tentukan kombinasi produksi agar keuntungan maksimum.

Soal 3: Seorang petani memiliki 2 hektar lahan untuk menanam jagung dan kedelai. Jagung memerlukan 1 unit pupuk per hektar, kedelai 2 unit pupuk. Pupuk tersedia 6 unit. Jagung memberikan keuntungan Rp3 juta/ha, kedelai Rp4 juta/ha. Nyatakan model program linear dan tentukan hasil optimal.

Dengan materi ini, siswa kelas XII mampu memahami konsep program linear, menggambar daerah penyelesaian, dan menyelesaikan masalah optimasi yang berkaitan dengan kehidupan nyata maupun soal TKA.

Bagikan Materi Ini:

WhatsApp