1. Pengertian Sistem Pertidaksamaan Linear Multivariabel
Sistem pertidaksamaan linear multivariabel adalah sekumpulan pertidaksamaan linear dengan lebih dari satu variabel, yang diselesaikan secara bersamaan untuk menemukan daerah himpunan penyelesaian. Pada tingkat SMA/MA/SMK/MAK kelas XII, fokus utamanya adalah menganalisis dan menggambar himpunan penyelesaian dalam bidang koordinat dua variabel, serta memperluas konsep ke tiga variabel.
Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear 2 variabel:
\(\begin{cases} a_1x + b_1y \;\leq\; c_1 \\ a_2x + b_2y \;>\; c_2 \end{cases}\)
Di mana \(x\) dan \(y\) adalah variabel, sementara \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) adalah konstanta real.
2. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian:
- Ubah tanda pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mendapatkan garis batas.
- Tentukan apakah garis batas termasuk himpunan penyelesaian (garis penuh) atau tidak (garis putus-putus).
- Tentukan daerah penyelesaian dengan memilih titik uji (misalnya \((0,0)\), jika memungkinkan).
- Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan adalah himpunan penyelesaian.
Contoh: Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut:
\(x + y \leq 6, \; x \geq 0, \; y \geq 0\)
Ilustrasi grafik:
3. Sistem Pertidaksamaan Linear Tiga Variabel
Bentuk umum:
\(\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z \leq d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z \geq d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z < d_3 \end{cases}\)
Pada kasus 3 variabel, penyelesaian berupa daerah ruang tiga dimensi (polyhedron). Untuk pembelajaran SMA/MA, biasanya hanya diberikan contoh sederhana dan pendekatan visualisasi melalui irisan bidang.
4. Aplikasi dalam Kehidupan Nyata
Sistem pertidaksamaan linear sering muncul dalam masalah optimasi, misalnya perencanaan produksi, anggaran biaya, atau alokasi sumber daya terbatas. Konsep ini melandasi metode program linear yang digunakan dalam riset operasi.
5. Latihan Soal TKA
Soal 1: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: \(x + y \leq 8\), \(x \geq 2\), \(y \geq 1\).
Soal 2: Suatu pabrik memproduksi dua jenis barang, A dan B. Barang A memerlukan 2 jam kerja mesin dan 1 jam kerja manusia. Barang B memerlukan 1 jam kerja mesin dan 2 jam kerja manusia. Mesin hanya tersedia 8 jam dan tenaga kerja 6 jam per hari. Nyatakan permasalahan ini dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear dan gambarkan daerah penyelesaiannya.
Soal 3: Diberikan sistem pertidaksamaan 3 variabel: \(x + y + z \leq 10\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\), \(z \geq 0\). Tentukan batasan ruang penyelesaiannya.
Dengan materi ini, siswa kelas XII akan mampu memahami konsep sistem pertidaksamaan linear multivariabel, menggambar daerah penyelesaian, serta mengaplikasikan konsep ke dalam masalah sehari-hari dan soal TKA.