1. Pengertian Sistem Persamaan Linear Multivariabel
Sistem persamaan linear multivariabel adalah sekumpulan persamaan linear yang memiliki lebih dari satu variabel, biasanya digunakan untuk mencari nilai variabel yang memenuhi semua persamaan sekaligus.
Secara umum, bentuk sistem persamaan linear 2 variabel:
\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)
Dimana \(x\) dan \(y\) adalah variabel, dan \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) adalah konstanta.
Contoh:
\(2x + 3y = 8\) dan \(x - y = 1\)
2. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
A. Metode Substitusi
- Selesaikan salah satu persamaan untuk salah satu variabel.
- Substitusi nilai variabel tersebut ke persamaan lainnya.
- Hitung nilai variabel kedua.
- Substitusi kembali untuk mendapatkan nilai variabel pertama.
Contoh Soal: Selesaikan \(x + y = 5\) dan \(x - y = 1\) menggunakan metode substitusi.
Jawaban:
- Dari \(x - y = 1\), diperoleh \(x = y + 1\)
- Substitusi ke \(x + y = 5\): \((y + 1) + y = 5\)
- \( 2y + 1 = 5 \Rightarrow y = 2 \)
- \(x = y + 1 = 3\)
B. Metode Eliminasi
- Samakan koefisien salah satu variabel pada kedua persamaan.
- Kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut.
- Selesaikan untuk variabel yang tersisa.
- Substitusi kembali untuk mendapatkan nilai variabel kedua.
Contoh Soal: Selesaikan \(3x + 2y = 16\) dan \(5x - 2y = 4\) menggunakan metode eliminasi.
Jawaban:
- Jumlahkan kedua persamaan: \(3x + 2y + 5x - 2y = 16 + 4\)
- \( 8x = 20 \Rightarrow x = 2.5 \)
- Substitusi ke \(3x + 2y = 16): (3(2.5) + 2y = 16 \Rightarrow 7.5 + 2y = 16 \Rightarrow 2y = 8.5 \Rightarrow y = 4.25\)
3. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Bentuk umum sistem 3 variabel:
\(\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\)
Metode penyelesaian bisa melalui substitusi berulang, eliminasi berulang, atau metode matriks (invers atau determinan).
4. Latihan Soal TKA
Soal 1: Selesaikan sistem persamaan 2 variabel berikut:
\(2x + y = 7\), \(x - y = 1\)
Jawaban:
- Dari \(x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1\)
- Substitusi ke \(2x + y = 7 \Rightarrow 2(y+1) + y = 7 \Rightarrow 3y + 2 = 7 \Rightarrow y = 5/3\)
- \(x = y + 1 = 8/3\)
Soal 2: Selesaikan sistem persamaan 3 variabel:
\(x + y + z = 6\), \(2x - y + z = 3\), \(x + 2y - z = 4\)
Jawaban (metode eliminasi): Dapat diselesaikan langkah demi langkah untuk mendapatkan \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\)
Soal 3: Seorang pedagang memiliki 3 jenis buah. Jumlah total apel, jeruk, dan pisang adalah 60. Apel + Jeruk = 40, Jeruk + Pisang = 35. Tentukan jumlah masing-masing buah.
Jawaban: Bentuk sistem persamaan linear 3 variabel dan selesaikan untuk mendapatkan jumlah \(Apel = 25\), \(Jeruk = 15\), \(Pisang = 20\).
Dengan materi ini, siswa akan memahami konsep sistem persamaan linear multivariabel, metode penyelesaian, dan mampu mengaplikasikan strategi bernalar tinggi dalam menyelesaikan soal TKA.